Persamaan Diferensial Stokastik

Secara umum, Persamaan Diferensial Biasa (PDB) pada masalah nilai awal pada rentang waktu t∈[0, T]  dengan nilai awal pda saat t=0 dituliskan sebagai berikut

X'(t) X(0)  = =  f(X(t)) x0   (1)

dimana solusinya merupakan sebuah fungsi.

Gambar 1. Persamaan Diferensial Biasa

Sedangkan Persamaan Diferensial Stokastik (PDS) dengan bentuk umum

X'(t) X(0)  = =  f(X(t))+g(X(t)) ξ(t) x0   (2)

solusinya merupakan proses stokastik akibat adanya white noise ξ(t). Persamaan Diferensial Stokastik banyak dipakai untuk pemodelan keuangan, tingkat suku bunga, harga minyak, dan lain-lain. White noise untuk simulasi PDS biasanya memakai bilangan acak berdistribusi Normal (0,1) atau Poison.

Gambar 2. Persamaan Diferensial Stokastik

Beberapa penelitian sebelumnya telah menggunakan metode numerik dalam bentuk eksplisit, semi implisit maupun implisit untuk simulasi PDS, seperti Gabriel (2010) memodifikasi skema semi implisit Euler-Maruyama diskritisasi Persamaan Diferensial Stokastik Parsial, Arun (2010) melakukan pendekatan kontrol secara stokasitik untuk menghindari kepadatan pada Unit Gawat Darurat sebuah Rumah Sakit, Renato (1994) menganalisa kekonvergenan metode semi implisit Euler Maruyama untuk persamaan evolusi abstrak, Wang (2010) membuktikan kekonvergenan semi implisit dan implisit Euler Maruyama dan Milstein pada Persamaan Populasi bergantung Umur yang memiliki unsur stokastik.

1. Brownian Motion (Wiener Process)

Bilangan acak yang akan dipakai dalam simulasi PDS merupakan Brownian Motion dimana ditemukan oleh seorang botanis bernama Robert Brown pada tahun 1827 saat mengamati pergerakan serbuk sari di air. Norbert Wiener mendefinisikan Brownian Motion secara matematika dan dikenal sebagai Proses Wiener yang merupakan salah satu proses Lévy terbaik yang sering dipakai dalam ekonomi, fisika dan matematika. Karakteristik dari proses Wiener W(t) didefinisikan sebagai berikut

1. W(0)=1,
2. W(t)-W(s) berdistribusi N(0,t-s)dimana t≥s≥0
3. Untuk 0<t1<t2<…<tn, variabel acak  W(t1), W(t2)-W(t1),…, W(tn)-W(tn-1) saling bebas

Dari 3 karakteristik tersebut dapat dibuat simulasi Proses Wiener dengan skema iterasi

1. W(0)=0, (denganprobabilitas 1)
2. W(t)-W(s) = sqrt(t-s) N(0,1)
3. Wj=Wj-1+ΔWj

Gambar 3 merupakan hasil simulasi Proses Wiener sebanyak 5 kali dengan t∈[0, 1] dan ∆t= 1200.

Gambar 3. Proses Wiener

2. Proses Wiener dengan stepsize berbeda

Untuk simulasi proses Wiener menggunakan step size yang berbeda sebagai perbandingan, maka harus dicari terlebih dahulu hubungan dWshortterhadap dWlong.

Misalkan

(3)

Dan

(4)

Sehingga didapatkan hubungan

(5)

(6)

Gambar 4. Proses Wiener dengan Step Size berbeda