Solusi Persamaan Diferensial Stokastik

Penjumlahan Riemann untuk mencari nilai suatu integral mempunyai skema

(7)

dimana τjdalam interval [tj,tj+1]. Persamaan (3) dapat diperluas menjadi integral Riemann-Stieltjes

(8)

Untuk g(t) yang smooth, limitnya konvergen ke suatu nilai tanpa memperhatikan nilai τj dalam interval [tj,tj+1].

Penyelesaian untuk Persamaan Diferensial Stokastik (2) bisa dilakukan dengan cara integral

(9)

Skema integral persamaan (9) dapat diselesaikan dengan metode Integral Ito maupun Stratonovic yang diadopsi dari penjumlahan Riemann-Stieltjes. Pada sembarang integral stokastik

, Ito mengevaluasi pada titik kiri (6) sedangkan Stratonovich pada titik tengah (7).

(10)

(11)

Masing-masing kelebihan Ito dan Stratonovich adalah

1. Integral Ito mempunyai sifat Martingale seperti mean dan variance.
2. Integral Stratonovich mematuhi aturan transformasi dari kalkulus klasik tetapi tidak memiliki sifat martingale.

Meskipun begitu, transformasi dari Ito ke Stratonovich dapat dilakukan, begitu pula sebaliknya.

Untuk metode numerik yang dipakai akan memakai sifat-sifat Ito.

TEOREMA (Sifat integral Ito)

1. 
   (12)
2. 
   (13)
3. 
   (14)
4. 
   (15)

Strong Convergence

Strong error didefinisikan sebagai berikut

(16)

dimana Xn merupakan solusi analitik dan X(tn) solusi dengan menggunakan metode numerik. Untuk suatu metode numerik dalam menyelesaikan Persamaan Diferensial Stokastik dikatakan Strong Convergence jika mengikuti dapat path secara akurat, atau bisa ditulis

jika ∆t→0 (17)

Metode numerik dikatakan memiliki Strong Order P jika

, for all 0<∆t≤∆t* (18)

Euler Maruyama

Metode Euler Maruyama memiliki strong order 0.5. Bentuk skema iterasi  Euler Maruyama untuk eksplisit (15), semi implisit (16) dan implisit (17) sebagai berikut

(19)

(20)

(21)

Milstein

Metode Milstein memiliki strong order 1. Bentuk skema iterasi Milstein  untuk eksplisit (18), semi implisit (19) dan implisit (20) sebagai berikut

(22)

(23)

(24)