Pembuktian dengan Pemeriksaan Langsung

   

Pembuktian dengan Pemeriksaan Langsung: Ini adalah metode pembuktian di mana kita memeriksa setiap kemungkinan nilai dalam rentang tertentu untuk menunjukkan bahwa suatu pernyataan benar.

Contoh: Buktikan bahwa \( n^2 + 1 \geq 2^n \) untuk bilangan bulat positif \( 1 \leq n \leq 4 \)

Untuk membuktikan bahwa \( n^2 + 1 \geq 2^n \) untuk bilangan bulat positif \( n \) dalam rentang \( 1 \leq n \leq 4 \), kita akan memeriksa setiap nilai \( n \) dalam rentang ini satu per satu.

Solusi Langkah Demi Langkah

Step 1: Periksa \( n = 1 \)

\( n^2 + 1 = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2 \)

\( 2^n = 2^1 = 2 \)

\(  n^2 + 1 = 2 \quad dan \quad 2^n = 2 \quad \implies \quad 2 \geq 2\)

Step 2: Periksa \( n = 2 \)

\( n^2 + 1 = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5 \)

\( 2^n = 2^2 = 4 \)

\( n^2 + 1 = 5 \quad dan \quad 2^n = 4 \quad \implies \quad 5 \geq 4\)

Step 3: Periksa \( n = 3 \)

\( n^2 + 1 = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10 \)

\( 2^n = 2^3 = 8 \)

\( n^2 + 1 = 10 \quad dan \quad 2^n = 8 \quad \implies \quad 10 \geq 8\)

Step 4: Periksa \( n = 4 \)

\( n^2 + 1 = 4^2 + 1 = 16 + 1 = 17 \)

\( 2^n = 2^4 = 16 \)

\( n^2 + 1 = 17 \quad dan \quad 2^n = 16 \quad \implies \quad 17 \geq 16\)

Final Answer

Telah terbukti bahwa \( n^2 + 1 \geq 2^n \) untuk semua \( n \) bilangan bulat positif dalam rentang \( 1 \leq n \leq 4 \).

Latihan soal lainnya

1. Buktikan bahwa \( n^3 + 1 \geq 3^n \) untuk \( 1 \leq n \leq 3 \).
2. Buktikan bahwa \( n^2 + 1 \geq 3^n \) untuk \( 1 \leq n \leq 2 \).
3. Bandingkan pertumbuhan fungsi \( n^2 \) dan \( 2^n \) untuk \( n > 4 \).